Les trois identités remarquables.
Première identité remarquable
Carré d'une somme
$(\color{red}a\color{black}+\color{blue}b\color{black})^2=\color{red}a\color{black}^2+2\color{red}a\color{blue}b\color{black}+\color{blue}b\color{black}^2$
démonstration :
Avec la formule de double distribution:
$(a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)$
$(a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2$
$(a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Interprétation géométrique:
Dans la figure ci-dessous, on calcule de deux manières l'aire du grand carré. Ou bien directement sachant que le côté mesure $a+b$, ou bien par addition des aires.
Deuxième identité remarquable
Carré d'une différence:
$(\color{red}a\color{black}-\color{blue}b\color{black})^2=\color{red}a\color{black}^2-2\color{red}a\color{blue}b\color{black}+\color{blue}b\color{black}^2$
démonstration :
Avec la formule de double distribution:
$(a-b)^2=(a-b)\cdot (a-b)$
$(a-b)^2=a^2-ab-ba+b^2$
$(a-b)^2=a^2-ab-ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Troisième identité remarquable
Produit somme$\cdot $différence:
$(\color{red}a\color{black}+\color{blue}b\color{black})(\color{red}a\color{black}-\color{blue}b\color{black})=\color{red}a\color{black}^2-\color{blue}b\color{black}^2$
démonstration :
Avec la formule de double distribution:
$(a+b)(a-b)=(a+b)\cdot (a-b)$
$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2$
$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
Dans la figure ci-dessous, le grand carré est de côté $a$. Le carré bleu est de côté $b$. Et la partie en briques a ainsi une aire de $a^2-b^2$.