Espérance et écart-type.
Quand la variable aléatoire est à valeurs réelles, ses images étant des nombres, ils se prêtent naturellement aux calculs.
Espérance.
Espérance est à prendre au sens étymologique du terme, ce que l'on est en droit d'attendre par exemple d'un jeu de hasard.
Définition: on appelle espérance de \(X\) et on note \(E(X)\) la moyenne des valeurs prises par \(X\), pondérées par les probabilités associées à ces valeurs par la loi de probabilité de \(X\).
Dans l'exemple précédent du dé tétraédrique du chapitre précédent, \(E(X)=2×1/16+3×2/16+...8×1/16= 5\)
En pratique, si on multiplie les réalisations empiriques de l'expérience aléatoire effectuée, et si l'on effectue la moyenne statistique des valeurs de X ainsi obtenues, celle-ci s'approchera de \(E(X)\). Dans le précédent exemple, si l'on jette n fois le dé tétraédrique, et si l'on prend la moyenne des \(X\) obtenus à chaque jet, celle-ci s'approchera de \(E(X)\) si n tend vers l'infini.
Par ailleurs, dans des cas précis, nous aurons une estimations fiable dans un certain sens, de l'erreur commise entre la fréquence expérimentale et l'espérance.
Exercice .
Un hôpital comporte deux salles d'opérations (notées \(S_1\), \(S_2\)) qui ont la même probabilité d'être occupées. La probabilité que I'une des salles au moins soit occupée est 0, 9.
La probabilité que les deux salles soient occupées est 0, 5.
Appelons \(X\)la variable aléatoire donnant le nombre de salles occupées.
Donner la loi de probabilité de \(X\).
Calculer son espérance (soit en substance, le nombre moyen de salles occupées dans cet établissement.)
Quelques résultats élémentaires sur l'espérance:
Dans les exemples associés, on considérera l'univers \(\Omega = \lbrace 1,2,3,4,5,6\rbrace\) associé au lancer de dé, et muni de l'équiprobabilité.
Première formule de linéarité : additivité des espérances :« l'espérance d'une somme est la somme des espérances »
Si on considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) de \(\Omega\).
\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
Exemple : On lance un dé équilibré, et un généreux donateur offre 5 € si l'issue est paire, -2 € si l'issue est {1}, -5 € s'il s'agit de {3}, et -7€ sinon. Soit \(X\) la variable aléatoire ainsi définie.
Un autre généreux donateur offre pour la même expérience aléatoire menée, une somme de Y(\omega ) où Y(\omega )=2\omega -7 € est donc une autre variable aléatoire définie sur le même univers des issues du lancer de dé.
On peut donc dès lors définir une variable aléatoire gain total \(Z\), comme somme de \(X\) et \(Y\).
Exercice :Vérifier sur l'exemple précédent la formule d'additivité des espérances.
Preuve de la première formule de linéarité :
Si \((\omega _i)\) désignent les issues de \(\Omega\), \(i\) allant de 1 à \(n\) :
\(E(X+Y)=\sum \limits_{i=1..n} p_i(X(\omega _i)+Y(\omega _i))\)
\(E(X+Y)=\sum \limits_{i=1..n} p_i.X(\omega _i)+p_i.Y(\omega _i)\) par développement.
\(E(X+Y)=\sum \limits_{i=1..n} p_iX(\omega _i)\)\(\sum \limits_{i=1..n} p_iY(\omega _i)\) par séparation de la somme en deux.
\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
Les résultats qui suivent sont de démonstration tout aussi évidentes :
Si \(X\) est une variable aléatoire constante, alors \(E(X)\) vaut cette constante.
Conséquence immédiate : pour tout \(b\) réel fixé,\( E(X+b)= E(X)+b\)
Deuxième formule de linéarité : pour tout \(a\) réel fxé, \(E(aX)= aE(X)\)
Et ainsi, une modification affine de la fonction \(X\) en \( aX+b\) se traduit sur les espérances par la transformation de \(E(X)\) en \(aE(X)+b\)
Exercice :
Dans un jeu de hasard, j'ai trois chances sur 10 de gagner 7€, j'ai une probabilité de 0,1 de gagner 10€. Sinon, je perds ma mise.
Quelle doit être cette mise pour que le jeu soit équitable?
Même question si dans un autre jeu, j'ai trois chances sur 10 de gagner 73€, j'ai une probabilité de 0,1 de gagner 103€. Sinon, je perds ma mise et 3€ supplémentaires.
Quelle doit être cette mise pour que le jeu soit équitable ?
Variance.
En statistiques, l'écart-type sert à mesurer dans un certain sens, la distance par rapport à la moyenne et d'évaluer ainsi le degré de fluctuation des valeurs mesurées autour de la moyenne.
On disposera en probabilité, du même indicateur de dispersion de la distribution autour ici de son espérance.
On considère une variable aléatoire discrète\( X :\Omega → \lbrace x_1 , x_2 , x_n \rbrace\)
Définition : On appelle variance de \(X \), et on note \(var(X)\), le nombre :
\( var(X)=E((X-E(X))^2) \)
A savoir : si on note \(\mu :=E(X)\) et \(p_i :=p(X=x_i )\)
\( var(X)=\sum_{i=1}^{n}p_i .( x_i -\mu )^2 \)
Définition : on appelle écart-type de X, et on note \(\sigma (X)\) la racine carrée de la variance.
On dispose également de cette formule équivalente pour calculer la variance :
Théorème de Koenig-Huygens : \(var(X)=E(X^2)-E(X)^2\)
Preuve :
\(Var(x)\)
\(=E((X-\mu )^2)\) par définition de la variance.
\(=E( X^2 -2X.\mu +\mu ^2)\) par développement des carrés
\(=E(X^2)-2\mu .E(X) + \mu^2\) par les formules de linéarité de l'espérance
\(=E(X^2)-2\mu .\mu + \mu^2\) par définition de \(\mu\)
\(=E(X^2)-\mu^2\)
\(=E(X^2)-E(X)^2\)
Exemple :
On étudie ces deux jeux de hasard :
Dans le jeu A, on jette deux fois une pièce de monnaie équilibrée : on gagne 3€ si on obtient deux fois "Face", et on en perd un sinon.
Dans le jeu B, on tire dans une urne opaque une boule parmi 30 boules numérotées de 0 à 29, et indiscernables au toucher. On gagne 29€ si c'est le numéro 0 qui sort. Et on perd 1€ sinon.
Calculer espérance et variance de ces deux jeux. Auquel préféreriez-vous jouer ? Commenter...
Effet sur la variance d'une modification affine de la variable aléatoire \(X\) en \(aX+b\), où \(a\) et \(b\) sont des réels fixés :
On vérifie immédiatement (à faire en exercice ) que \(var( aX+b) =a^2 var(X)\)