Les nombres demandés seront donnés sous forme décimale, arrondi à 0,01 près
Un QCM comporte 50 questions, chacune d'entre elles proposant quatre réponses à cocher, dont une seule juste.
Un élève fainéant, qui n'avait pas travaillé durant le chapitre évalué, a obtenu 12/20.
Convoqué par son enseignant pour fraude avérée, il se justifie en prétendant avoir simplement répondu au hasard à toutes les questions sans même les lire.
Et qu'il ne peut donc être suspecté de fraude...
Son enseignant, malheureusement professeur de mathématiques, lui expose son analyse suivante :
Je veux bien te croire, lui dit-il, mais le hasard a souvent bon dos :
Si on admet que chaque question à laquelle tu as répondu est une épreuve de Bernouilli de paramètre de succès 0,25
Si pour répondre à ce test, tu as répété 50 fois cette épreuve de manière indépendante,
Alors la variable aléatoire comptabilisant le nombres de réponses justes suivrait la loi binomiale de paramètre \(B(\)50; 0,25\()\)
Son espérance est par ailleurs de 12,5, ce qui te permettrait en agissant ainsi d'obtenir une note de 5/20.
Quoi qu'il en soit, poursuivons plus loin l'analyse :
Il sort alors sa calculatrice, la bascule en mode tableur, et affiche le tableau suivant :
La probabilité que tu aies au moins 6 réponses justes est strictement supérieure à 1%. ce qui n'est pas le cas pour 5 bonnes réponses.
Si je descends plus bas dans ce même tableau, la probabilité que tu obtiennes au moins 23 bonnes réponses est supérieure ou égale à 99%, ce qui n'est pas le cas pour 22.
Ainsi, l'intervalle [ 0,12 ; 0,40 ] est un intervalle de fluctuation de la fréquence de tes réponses au seuil de 98%.
Or, dans l'évaluation que tu as menée, tu obtins une fréquence de bonnes réponses de 0,6, qui est clairement extérieure à l'intervalle précédent.
Je suis donc amené à ne pas valider l'hypothèse que tu aies répondu au hasard à ce QCM, au risque d'erreur de me tromper dans ma conclusion de 2%
