§2-L'équation du second degré.

Définition:

Exemple: Résoudre l'équation:

`2(3x-7)+18= 7x+2`

Exemple: Résoudre l'équation:
`(2x+3)(3x+6)=0`

Histoire des maths: Une interview d'Ahmed Djebbar ci-dessus.

Complément ici!

c-1. Un problème aux sources de l'algèbre:

c-2. Mise sous forme canonique d'une fonction du 2nd degré:

Objectif de la manoeuvre:
a- On sait résoudre les équations du type `x^2=a`
(où `a` est fixé.)
Exemple:
Résoudre `x^2=5`

b- On sait résoudre les équations du type `(x-\alpha)^2=d`
Exemple:
Résoudre l'équation:` (x-3)^2=10`
c- Une idée du protocole à suivre:
On va ramener toutes les équations du second degré à une résolution du type de celle qui précède, et la simple connaissance des deux premières identités remarquables va nous permettre de réaliser ce tour de force:
Exemple:
On cherche à résoudre l'équation du second degré suivante:

`\mathbf{x^2+6x}-7=0`.

Rappel sur la forme:
Si l'on pose `f(x)=\mathbf{x^2+6x}-7`
`f(x)` est un trinôme du second degré, et l'équation à résoudre revient à la recherche des valeurs annulatrices de ce trinôme: on en cherche les racines.

Inspectons les deux 'premiers termes' de `f(x)`:
`\mathbf{x^2+6x}` est le début du développement de `(x+3)^2 ` d'après la première identité remarquable:
On sait que `(x+3)^2=\mathbf{x^2+2.3x}+3^2=\mathbf{x^2+6x}+9`
En ce sens, `\mathbf{x^2+6x}` est donc `(x+3)^2` privé du troisième terme de son développement:
`\mathbf{x^2+6x}=\mathbf{(x+3)^2-9}`
A partir de là,
`f(x)` se réécrit de manière équivalente ainsi:
`f(x)=\mathbf{x^2+6x}-7`
` =\mathbf{(x+3)^2-9}-7`
` =(x+3)^2-16`
Or résoudre
`(x+3)^2-16=0`
revient à s'intéresser à `(x+3)^2-4^2=0`
Ce qui équivaut, par reconnaissance de l'identité remarquable 3, à la résolution de l'équation produit:
`(x+3-4)(x+3+4)=0`
Soit `(x-1)(x+7)=0`
Dont les solutions sont -7 et 1.

c-3 Forme canonique d'une fonction générale du second degré.

Dans le cas précédent, on recherchait les racines de `f(x)=mathbf{x^2+6x}-7`

Et nous réécrivions `f(x)` comme:

`f(x)=(x+3)^2-9`

Ce qui nous permettait la recherche des racines de `f`...

Cette réécriture de `f` est une mise sous forme canonique de ce trinôme du second degré:

Le même protocole peut s'appliquer à tout trinôme du second degré, et nous réécrirons ainsi 

tout trinôme du second degré sous la forme à découvrir ici!

Exercice interactif: Mettre les trinômes donnés sous leur forme canonique: