Résolution générale de l'équation du second degré
d- Résolution de `ax^2+bx+c=0`
On dispose du fonction du second degré dont on cherche les racines:
Soit donc `f(x)=ax²+bx+c`, où `a` est un nombre réel non nul.
On cherche à résoudre l'équation `f(x)=0`
Or le trinôme du second degré f peut se mettre sous sa forme canonique:
`f(x)= a(x-alpha)^2+\beta`
avec `alpha=-frac{b}{2a}` et `beta=-frac{Delta}{4a}`
où `Delta:=b^2-4ac`
Ainsi, `f(x)=a[(x-\alpha)^2-frac{\Delta}{4a^2}]`
Donc résoudre l'équation `f(x)=0` équivaut à:
`(x-\alpha)^2-frac{\Delta}{4a^2} =0` (*)
Et la suite de la résolution dépend du signe de `Delta`:
Si `Delta<0` | Si `Delta=0` | Si `Delta>0` |
|---|---|---|
`(x-\alpha)^2-frac{\Delta}{4a^2}` est alors la somme d'un carré, qui est positif ou nul, et d'un nombre strictement positif, et cette somme est ainsi un nombre strictement positif, donc non nul: l'équation (*) n'a pas de solution. Autre manière de conclure: l'égalité précédente en devient inconcevable. Il n'ya pas de solutions. | Dans ce cas de figure l'équation (*) devient: | Le membre de gauche de (*) est la forme développée de la troisième identité remarquable : en effet : `\Delta` étant un nombre positif, il est le carré de sa racine carrée, et le nombre `frac{\Delta}{4a^2}` est le carré de `frac{sqrt(\Delta)}{2a}`. L''égalité (*) devient ainsi: `(x-\alpha)^2-(frac{sqrt(\Delta)}{2a})^2 =0` Ce qui équivaut à l'équation-produit nul suivante: `(x-\alpha+frac{sqrt(\Delta)}{2a})(x-\alpha-frac{sqrt(\Delta)}{2a}) =0` Ce produit est nul ssi l'un de ses facteurs est nul:L'équation admet deux solutions distinctes: `x_1=\alpha-frac{sqrt(\Delta)}{2a}` et `x_2=\alpha+frac{sqrt(\Delta)}{2a}` ou encore: `S=` { ` \alpha-frac{sqrt(\Delta)}{2a} ; \alpha+frac{sqrt(\Delta)}{2a}` } |
| définition:`\Delta`, vu le rôle qu'il joue, s'appelle le discriminant du trinôme `ax²+bx+c` | ||
Exercice interactif: Appliquer la formule du discriminant pour trouver les racines des polynômes donnés.
e- Somme et produit de racines.
La formule trouvée précédemment dans le cas où le disriminant est strictement positif s'applique
aussi quand il est nul: raison pour laquelle, dans ce dernier cas de figure, on n'hésite pas à dire
que l'on a une "racine double", ou "deux racines confondues".
Dans le cas où le discrimant est positif ou nul, on vérifie que la somme des racines est de `-b/a`
et que le produit des racines est de `c/a`.
Théorème: si deux nombres ont pour somme `S` et pour produit `P`, alors ils sont les racines,
éventuellement confondues, de l'équation du second degré `x^2-Sx+P=0`.
Réciproquement: Si deux nombres sont les racines éventuellement confondues de l'équation `x^2-Sx+P=0` , alors leur somme est S et leur produit est P.
Exemple: dire que 2 et 5 ont pour somme 7 et pour produit 10, équivaut à dire que
2 et 5 sont les racines de `x^2-7x+10=0`
Preuve: en exercice.
Exercice flash: résoudre mentalement l'équation suivante:
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