I-Univers de probabilité.
On appelle univers de probabilité l'ensemble des issues de l'expérience aléatoire, et on note
cet ensemble non vide. Chaque issue est donc un atome de l'univers, un ensemble à un élément, un singleton dit-on. Dans le cas du lancer de dé,
est la réunion des issues {1}, {2} ... {6}:
; On décrit ici l'univers dans sa compréhension en listant tous ses éléments. On adopte ici les notations ensemblistes et on visualise les ensembles avec un diagramme de Venn.
On appelle événement tout sous-ensemble de l'univers: dans l'exemple ci-dessus, “obtenir un nombre pair” est un sous-ensemble de
constitué des issues 2, 4, 6.
On écrira : “Obtenir un nombre pair”
Remarque :
A est un sous-ensemble de l'univers
A est un événement
Définition: On considère deux ensemble A et B, et on dit que A est inclus dans B, ce que l'on note
, lorsque tous les éléments de A sont éléments de B :
(
.
Si
, A est donc appelé un événement de l'univers.
Définition : L'ensemble des événements sera noté
.
Tout événement peut se décrire par une propriété qui caractérise ses éléments :
Par exemple, “Obtenir un nombre pair”= {2,4,6} est bien inclus dans l'univers des possibles du lancer de dé. Il en est un des événements.
L'univers est une partie de l'univers : on l'appelle l'événement certain. Il est certain d'être dans l'univers, quand on en est un de ses membres.
Et la partie résiduelle de l'univers n'est ni une illusion, ni une vague idée philosophique : cette partie de l'univers est définie par l'incapacité de ses éléments à "être et ne pas être". Non pas remise en cause de l'axiome du tiers exclu fondateur de la logique aristotélicienne, on ne peut définitivement être une chose et son contraire , l'ensemble vide est plutôt son aboutissement. Cet ensemble est défini par l'aptitude de chacun de ses éléments à vérifier toute propriété et...son contraire.
Tout élément de l'ensemble poubelle qui réaliserait ce tour de force, serait donc par définition membre de l'univers (sans y être), cet ensemble est ainsi une partie légitime de l'univers : nous le noterons
, et l’appellerons aussi événement impossible.
Initialement, Zermelo et Frankael, faisaient de l'existence de l'ensemble vide un des axiomes de la théorie axiomatique qu'ils développaient. Les versions dépoussiérées de la théorie font de cette existence une conséquence logique d'autres axiomes.
