Formule de dérivation.

Définition: Fonction dérivée.

On considère une fonction f définie sur un intervalle [a, b].

Si la courbe de cette fonction admet une tangente en tout point de `] a, b [` , on dit alors que la fonction `f` est dérivable sur l'intervalle ouvert `]a, b[`.

La fonction qui à tout `x` de `]a, b[` associe la pente de la tangente en `x` est appelée fonction dérivée de `f` , et se note `f'(x)`.

Autrement dit:

On dit de la fonction `f` qu'elle est dérivable sur l'intervalle `]a,b[`, si pour tout élément de cet intervalle, la limite quand `h \rightarrow 0 `  de `\frac{f(x+h)-f(x)}{h}`  existe.

`\frac{f(x+h)-f(x)}{h},` si `h \rightarrow 0 ` existe.

L'unique nombre ainsi défini, qui s'interprète géométriquement comme le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x,

définit dés lors une fonction en `x`, que l'on appelera fonction dérivée de `f`, et que l'on notera `f'(x)`.

a- Fonctions affines.

Soit $f$ est une fonction affine: elle est donc définie sur $R$ 
Pour tout $x$ réel, $f\left(x\right)=px+q$ 
En tout point de la droite qui en est la représentation graphique, il y a évidemment une tangente: elle-même!
Ainsi, le coefficient directeur de cette tangente, $f\text{'}\left(x\right)$ est donc de $p$.

b- Fonction carrée.

Si$f$ est la fonction carrée: elle est donc définie sur $R$ 
Pour tout $x$ réel, $f\left(x\right)=x^2$ 

Pour $h$ non nul, on a :
$\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}=\frac{{(x+h)}^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$

Et si $h\to 0$, le rapport précédent tend vers $2x$:

$f\text{'}\left(x\right)=2x$