Première approche.
Introduction
Si mettre en relation deux grandeurs entre elles est une idée aussi ancienne que l'humanité, l'Analyse, cette branche des mathématiques qui s'intéresse au concept de fonction, commence à se développer dès que les outils algébriques nécessaires pour formaliser l'intuition sont construits.
Le préalable: pouvoir représenter la fonction par une formule, et c'est le français Viète qui introduit en 1591, une écriture algébrique symbolique apte à transcrire une dépendance par rapport à une quantité inconnue. Les notations de Viète seront progressivement amendées par les générations qui suivront.
Galilée, en 1623, concoit la mathématique comme un langage propre à exprimer la réalité physique de la nature: " le grand livre de l'univers est écrit en langage mathématique", dit-il. Mais la nature est irrémédiablement fonction du temps. Une partie du travail de Galilée a trait évidemment à l'étude de trajectoires de mobiles, c'est à dire de courbes.
Quelques décennies après, l'approche de Newton sur ces notions formalise la notion de dérivée, et souligne le rôle central de l'Analyse dans les mathématiques. Newton rédige sa Philosophiae Naturalis Principia, dont les deux premiers volumes sont mathématiques, et le troisième dédié à une explication de la physique des phénomènes naturels, appelée alors "philosophie naturelle".
Une construction approximative de la Tangente.
-Lancer Géogébra.
-Construire en noir la courbe de la fonction carré : f(x)=0.4*x²
-Positionner A point de cette parabole d'abscisse 2.
-Zoomer suffisamment "autour de A" jusqu'à ce que la courbe devienne rectiligne.
-Positionner un autre point A' sur ce qui s'apparente à une droite, et tracer en rouge la droite (AA') : avec ce niveau de zoom, la droite (AA') et la courbe de la fonction f sont indiscernables.
- Dézoomer la figure. et revenir à l'échelle initiale.La droite en rouge, qui "épouse au mieux la forme de la courbe au voisinage du point A" est appelée tangente à la courbe au point A.
Figure Géogébra à compléter.
Commentaires.
Les questions qui se posent sont diverses:
La première est fondamentale: Toutes les courbes sont -elles ainsi assimilables à des droites au voisinage de tout point choisi sur elles?
La seconde est évidente: comment connaitre la tangente en A avec exactitude, dès lors que l'on connait l'expression algébrique de la fonction et l'abscisse de A?